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By EMIL ARTIN

Édition originale publiée sous le titre Geometric Algebra par Interscience Publishers en 1957.
Réimpression de l. a. traduction française publiée par Gauthier-Villars en 1962.

AVANT-PROPOS de Gaston JULIA

On sait depuis longtemps que l’Algèbre et los angeles Géométrie, en certains de leurs chapitres, ne sont que deux facets différents d’une même vérité, en sorte que tout progrès de l’un amène un progrès de l’autre, et que l. a. présentation abstraite de l’Algèbre s’accompagne de représentations géométriques très suggestives ou d’applications géométriques fructueuses, qui, quelquefois, l’ont même précédée.

Le présent livre est un modèle de cette présentation combinée de l’Algèbre et de l. a. Géométrie, que nous estimons être de los angeles plus haute valeur éducative et de los angeles plus grande utilité dans los angeles recherche : c’est pourquoi nous avons été très heureux de l’accueillir dans notre assortment des « Cahiers scientifiques ».

Ce n’est pas un traité complet. On n’y traite que certains chapitres de l’Algèbre, dont l’importance pour l. a. Géométrie et pour l’histoire du développement des Mathématiques modernes, est pourtant fondamentale, et ressort de l’exposé même qu’on va lire.

La méthode de l’auteur est très suggestive. Qu’on lise en effet sa préface ; on y notera deux soucis : un souci de rigueur abstraite qui conviendra toujours à tout exposé d’Algèbre ; un souci d’éveiller des pictures géométriques comme representation et program des théorèmes algébriques étudiés. Notre opinion est que ce double souci devrait animer tout ouvrage de Mathématiques.

De son côté, M. Jean Dieudonné, l’éminent algébriste bien connu, exprimait récemment l’espoir que bientôt « le monde mathématique tout entier, et non seulement une poignée de spécialistes, soit mis en état d’apprécier l’ouvrage d’Artin et de le mettre à los angeles position qui lui revient, à côté des célèbres « Grundlagen der Geometrie » de Hilbert ». On ne saurait mieux dire.

====== desk des matières ======

Avant-propos
Préface
Suggestions pour le bon utilization de ce livre
Table des matières

Chapitre I — Notions préliminaires
    1. Notions de théorie des ensembles
    2. Théorèmes sur les espaces vectoriels
    3. Etude plus détaillées des homomorphismes
    4. Dualité et couplages
    5. Equations linéaires
    6. symptoms pour un exercice
    7. Notions de théorie des groupes
    8. Notions de théorie des corps
    9. Corps ordonnés
    10. Valuations

Chapitre II — Géométrie affine et géométrie projective
    1. Introduction ; les trois premiers axiomes
    2. Dilatations et translations
    3. development du corps
    4. creation de coordonnées
    5. Géométrei affine sur un corps de base donné
    6. Le théorème de Desargues
    7. Le théorème de Pappus et l. a. loi commutative
    8. Géométrie ordonnée
    9. issues harmoniques
    10. Le théorème fondamental de l. a. géométrie projective
    11. Le plan projectif

Chapitre III — Géométrie symplectique et géométrie orthogonale
    1. constructions métriques sur les espaces vectoriels
    2. Définitions des géométries orthogonale et symplectique
    3. features communs des géométries orthogonale et symplectique
    4. characteristics particuliers à l. a. géométrie orthogonale
    5. characteristics particuliers à l. a. géométrie symplectique
    6. Géométrie sur les corps finis
    7. Géométrie sur les corps ordonnés. Le théorème de Sylvester

Chapitre IV — Le groupe linéaire général
    1. Déterminants non commutatifs
    2. l. a. constitution de GL_n(k)
    3. Espaces vectoriels sur les corps finis

Chapitre V — l. a. constitution du groupe symplectique et du groupe orthogonal
    1. constitution du groupe symplectique
    2. Le groupe orthogonal d’un espace euclidien
    3. Espaces elliptiques
    4. L’algèbre de Clifford
    5. los angeles norme spinorielle
    6. Les cas où dim V ⩽ 4
    7. l. a. constitution du groupe Ω(V)

Bibliographie et feedback pour des lectures complémentaires
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Compute the number of quadrilaterals similar to Q, with all vertices on lines ℓi . 18. e. coplanar) rhombus. b) [1-] Prove that every flat rhombus inscribed into a sphere is a square. Use part a) to conclude that every simple spherical polygon has an inscribed square. c) [2-] Use part b) and a limit argument to give another proof that every simple polygon in the plane has an inscribed square. 19. An equihedral octahedron Q is defined as convex hull of three orthogonal intervals (diagonals of Q) intersecting at midpoints.

This follows from the fact that (0, 1) and (1, 0) lie in different connected components of [0, 1]2 A. Indeed, if one climber is going up the mountain and the other is going down, there is a time t when they are at the same level. Second proof. e. all peaks and valleys of the mountain are at different levels. Define the set A as in the first proof. Let us show that A is a continuous piecewise linear curve from (0, 0) to (1, 1). 8). We conclude that A is a continuous curve with (0, 0) and (1, 1) its only possible endpoints.

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