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By Werner Fenchel

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Introduction a la Topologie

Ce cours de topologie a été dispensé en licence à l'Université de Rennes 1 de 1999 à 2002. Toutes les constructions permettant de parler de limite et de continuité sont d'abord dégagées, puis l'utilité de l. a. compacité pour ramener des problèmes de complexité infinie à l'étude d'un nombre fini de cas est explicitée.

Spaces of Constant Curvature

This ebook is the 6th variation of the vintage areas of continuous Curvature, first released in 1967, with the former (fifth) version released in 1984. It illustrates the excessive measure of interaction among crew concept and geometry. The reader will enjoy the very concise remedies of riemannian and pseudo-riemannian manifolds and their curvatures, of the illustration conception of finite teams, and of symptoms of contemporary growth in discrete subgroups of Lie teams.

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Example text

Die Linearit¨ at und Derivationseigenschaft sind ebenfalls offensichtlich, womit γ(0) ˙ tats¨ achlich ein Tangentialvektor ist. 11) verwendet. 14. ) die kinematische“ Definition liefert. Einen sch¨onen und detaillierte” ren Vergleich findet man beispielsweise in [180, Kap. 2]. Da jeder Punkt p ∈ M nun seinen eigenen Tangentialraum hat, kann man die Gesamtheit aller Tangentialr¨ aume betrachten. 15) p∈M wobei die Vereinigung als disjunkte Vereinigung zu verstehen ist (etwas anderes ist auch nicht sinnvoll).

Bezeichnet π : M −→ M M0 die kanonische Projektion, so ist π◦ι bilinear. ) Zeigen Sie, daß V ⊗ W = M M0 und ⊗ = π ◦ ι den Anforderungen des Satzes gen¨ ugen. Jedes solche Paar (V ⊗ W, ⊗) heißt (ein) Tensorprodukt von V und W . 54) kommutiert. Daher ist das Tensorprodukt von V und W eindeutig bis auf einen eindeutigen Isomorphismus bestimmt, und man spricht von dem Tensorprodukt V ⊗ W . Betrachten Sie nun zwei endlichdimensionale Vektorr¨aume V , W . Mit Bil(V ∗ × W ∗ , ) seien die Bilinearformen auf V ∗ × W ∗ mit Werten in bezeichnet.

F, g} = {f , g} (Realit¨at). Beweis. Der Beweis erfolgt durch einfaches Nachrechnen. 10 (Poisson-Algebra). Eine assoziative, kommutative Algebra A ¨ uber mit einer -bilinearen und antisymmetrischen Klammer {·, ·} : A × A −→ A, welche die Leibniz-Regel und die Jacobi-Identit¨at erf¨ ullt, ullt die Poissonheißt Poisson-Algebra. Ist A zudem eine ∗ -Algebra und erf¨ Klammer die Realit¨atsbedingung, so heißt A Poisson-∗ -Algebra. Die Relevanz der kanonischen Poisson-Klammer liegt in ihrer Bedeutung f¨ ur die Zeitentwicklung: Ist Φt der Hamiltonsche Fluß zu einer HamiltonFunktion H, so definiert man f¨ ur f ∈ C ∞ ( 2n ) die Hamiltonsche Zeitentwicklung f (t) durch f (t) = f ◦ Φt = Φ∗t f.

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