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By D. Hilbert, W. Ackermann (auth.)

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Spezieller Teil I: Die Eingriffe in der Bauchhöhle

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer publication documents mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen.

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Es kommt in der Formel nicht dasjenige zur Darstellung, worauf der logische Zusammenhang zwischen Vordersatz und Nachsatz beruht, daß nämlich die Prädikate des Sohn-Seins und des Vater-Seins eine Beziehung eines Gegenstandes zu einem anderen enthalten. Die entsprechende Sachlage findet sich bei fast allen komplizierteren Urteilen. jxf---+ § 2. Methodische Grundgedanken des Prädikatenkalküls. Da sich unser bisheriger Kalkül als ungenügend herausgestellt hat, so sind wir genötigt, nach einer neuen Art der logischen Symbolik zu suchen.

Wäre daher die Formel a) aus b), c), d) und Xv X mit Hilfe der Regeln ableitbar, so müßte XXv X für jeden zulässigen Wert von X die Restklasse 0 ergeben. Dies ist aber nicht der Fall. Denn setzen wir für X den Wert 2 ein, dann ergibt sich: - 2v2v2=0v2=1v2=2, also nicht der Wert 0. Die Unabhängigkeit des Axioms b) X v (X v Y) von den übrigen Axiomen mit Einschluß von X v X zeigen wir auf folgende Weise. Es werden wieder X, Y, Z als Variable betrachtet, die die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen können. Wir definieren aber jetzt die Verknüpfung v für diese Variablen durch: Ov0=0v1 =Ov2=0v3 =0; 2V2=2; 3V3=3; 1V1=1V2=1V3=1; 2v3 = 2 und durch die Festsetzung, daß das kommutative Gesetz gelten soll, Ferner versteht man unter Ö, 1, 2, 3 bezüglich 1, 0, 3, 2.

M: einsetzt und dann zweimal das Schlußschema anwendet. § 11. Beispiele Iür die Ableitung von Formeln aus den Axiomen. Formel (2): 27 Xv X. Beweis: X--+ X v X [durch Einsetzung von X für Y in b)], XvX--+X [nach a)], X -+X [nach Regel V]. Die letzte Formel ist eine abgekürzte Schreibweise für X v X. Formel (3): X v X. Diese Formel ergibt sich aus (2) durch Anwendung der Regel III. Formel (4): X--+X. Beweis: (4) ist eine Abkürzung für XX, und diese Formel geht aus (3) hervor, indem man X für X einsetzt.

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