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By Eberhard Schröder (auth.)

Zentrales Anliegen dieses Buches ist es, einen Überblick über den mathematischen Aufbau der Tonleitern nach dem pythagore­ ischen, dem diatonischen und dem temperierten Stimmungs­ prinzip zu geben. Die Tonleitern werden in der Reihenfolge ihrer historischen Entwicklung behandelt. Im Zusammenhang mit der pythagoreischen Tonleiter wird auf die philosophischen Lehrmeinungen der Pythagoreer einge­ gangen und die ideelle Krise aufgezeigt, die in dieser Philo­ sophenschule als Folge der Widerlegung ihrer Lehren auftrat. Vorzüge und Nachteile der pythagoreischen und diatonischen Tonleitern werden gegeneinander abgewogen. In neuerer Zeit erwuchs aus den Forderungen der musikalischen Praxis nach Modulationsfähigkeit von Instrumenten mit fester Stimmlage das erstmalig von M. Mersenne ausgearbeitete Prinzip der temperierten Stimmung. Nach Durchsetzung der temperierten Tonskala wurde in der Mitte des 19. Jahrhunderts mit der Festlegung der absoluten Schwingungszahlen eine weitere Vor­ aussetzung für die Internationalisierung des Musiklebens er­ füllt. Dieses Buch weist auf zahlreiche Querverbindungen zwischen dem mathematischen Aufbau der Tonleitern und der Gestaltung bzw. Konstruktion von Musikinstrumenten hin. Die Begriffe harmonische Schwingung, Resonanz, Schwebung und harmo­ nische examine einer periodischen Schwingung sind gleichfalls Gegenstände der Betrachtung. Die geometrische Schallreflexion an einigen gekrümmten Flächen und die Resonanz werden im Hinblick auf die Raumakustik behandelt. Mit der Erläuterung sowohl des Weber-Fechnerschen Gesetzes als auch des Ohm­ sehen Gesetzes an Hand von Beispielen und mit der Gegenüber­ stellung der Verhältniszahlen von Dur-und Moll-Akkord wer­ den physikalisch-psychische Wechselbeziehungen in die Be­ trachtungen einbezogen.

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Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer publication records mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen.

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7 + 25 sm wt - 49 sm wt + ... ]. Abbildung 28 veranschaulicht, daß sich das Bild von y(t) schon sehr gut der von uns in Abbildung 27 vorgelegten Sägezahnkurve annähert. Diese Annäherung läßt sich durch die Mitnahme von Gliedern noch höherer Ordnung beliebig weit treiben. Für eine wissenschaftliche Tonanalyse interessiert die Amplitude ai' die zu der harmonischen Schwingung mit der Kreisfrequenz i· w gehört. Weiterhin kann man die Gesamtheit der Amplituden in einer graphischen Darstellung (Säulendiagramm) zusammenfassen.

Man nennt diesen dritten Ton (terzo suono) nach seinem Entdecker Giuseppe Tartini (1692-1770) Tartinischen Ton. Das Auftreten von Schwebungen 40 6. Harmonische Analyse - Ohmsehes Gesetz bestätigt dem Musiker, daß zwei Töne zwar annähernd gleich aber nicht genau gleich sind. Beim Abstimmen der Instrumente aufeinander wird im Orchester von diesem Sachverhalt Gebrauch gemacht. y, y ~ fI 1\ A A V\ V A t V V V v v v V Abb. 1~ Erzeugung von Schwebungen und Tartinisehen Tönen durch Superposition dicht benachbart liegqtder Töne; Verhältnis der Schwingungszahlen: 8 : 9 Eine umgekehrte Problemstellung besteht darin, daß ein empirisch aufgenommener periodischer Vorgang vorliegt und 6.

Auf diese Weise lassen sich dreistellige Verhältniszahlen zwischen Nachbartönen, wie sie bei der pythagoreischen Stimmung auftreten, ausschalten. Mit den vorgegebenen Intervallgrößen sind nun noch die beiden Leerstellen zwischen g und c' zu besetzen. Geht man von e um 55 8. Diatonisches Stimmungsprinzip eine Quinte nach oben, ergibt sich h mit der Verhältniszahl 15(8 bezüglich des Grundtones c. Damit bleibt für das Intervall von h nach c' der halbe Tonschritt 16/15. Das noch offene Intervall zwischen g und h stellt eine große Terz entsprechend dem Bruch 5/4 dar.

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