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By Connes A.

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Introduction a la Topologie

Ce cours de topologie a été dispensé en licence à l'Université de Rennes 1 de 1999 à 2002. Toutes les constructions permettant de parler de limite et de continuité sont d'abord dégagées, puis l'utilité de los angeles compacité pour ramener des problèmes de complexité infinie à l'étude d'un nombre fini de cas est explicitée.

Spaces of Constant Curvature

This ebook is the 6th version of the vintage areas of continuing Curvature, first released in 1967, with the former (fifth) variation released in 1984. It illustrates the excessive measure of interaction among workforce idea and geometry. The reader will enjoy the very concise remedies of riemannian and pseudo-riemannian manifolds and their curvatures, of the illustration conception of finite teams, and of symptoms of contemporary development in discrete subgroups of Lie teams.

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Comme pour le produit (en inversant le sens), on a une caract´erisation de la continuit´e des fonctions continues sur0 un espace quotient. 4. Avec les notations ci-dessus, une application g : (X/R, TR ) → (X , T ) est continue si et seulement si g ◦ πR est continue de (X, T ) dans (X , T ). X πR g ✲ ✯ ✟✟ X ✟✟ ✟ g ◦ πR ❄✟✟ X/R Preuve : ⇒ : C’est la transitivit´e de la continuit´e. ⇐ : Supposons g ◦ πR continue. Pour un ouvert O ∈ O , l’image r´eciproque πR−1 [g −1 (O )] = [g ◦ πR ]−1 (O ) est un ouvert de (X, T ).

Ii) Propri´et´e de Bolzano-Weierstrass : Toute partie infinie de A admet un point d’accumulation dans A. iii) De toute suite (xn )n∈N d’´el´ements de A, on peut extraire une sous-suite convergeant dans A. Compacit´e des espaces m´etriques. 2. Notons que l’on peut exprimer la propri´et´e ii) d’une autre mani`ere en disant que toute suite de A admet une valeur d’adh´erence dans A. Une valeur d’adh´erence d’une suite (xn )n∈N est un point x tel que pour tout voisinage V ∈ V(x) la suite prennent une infinit´e de fois sa valeur dans V .

La propri´et´e de Bolzano-Weierstrass est vraie pour tout espace topologique compact. En revanche ii)⇒iii) n´ecessite l’existence d’une base de voisinages d´enombrable : Pour que le point d’accumulation soit effectivement la limite d’une sous-suite, on a besoin de cette propri´et´e des espaces m´etriques. 3) qui se formule explicitement avec une distance. b) Une cons´equence du Th´eor`eme est que le Lemme de la maille s’applique `a tout espace m´etrique compact. c) Ce th´eor`eme a une g´en´eralisation compl`ete pour des espaces topologiques quelconques reposant encore sur la notion de filtre.

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