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By Konrad Knopp, W. Walter

Als dieses Buch zum ersten Mal erschien (als Band 2 der neugegründeten Grundlehren), lobte guy einhellig die Anlage und den Stil des Bandes. Selten nur blieb ein Buch über sechs Jahrzehnte hinweg wegen seiner hervorragenden Didaktik und seiner anregenden Formulierungen so gefragt. In dieser neuen Auflage beschreibt Wolfgang Walter, der Knopp noch persönlich kannte, die Wirkungsgeschichte und Bedeutung von Knopps klassischer Einführung in die Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen.

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Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer e-book files mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen.

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Bei seiner Formulierung nehmen wir die sehr naheliegenden Definitionen 23-23 des folgenden Paragraphen vorweg: Satz 4, Ist (xn) eine monoton wachsende, (Yn) e~ne monoton fallende Folge beliebiger reeller Zahlen, ist für jedes n überdies x 11 < y,. und bilden die Differenzen Yn- X 11 = d11 eine Nullfolge, so gibt es stets eine und nur eine reelle Zahl a, so daß für alle n stets x" < a < Yn ist. - Wir sagen dann wieder (vgl. Definition 11): Die vorgelegten Folgen definieren eine Intervallschachtelung (xn IYn) und a sei die durch sie (eindeutig) definierte Zahl.

Y1 = 1,5; y 2 = 1,42; ... , so gibt es keine rationale Zahl s, fiir die stets x,. ;;;::; s ;;;::; y,. wäre. ' ... ' eine Schachtelung 1). 2 > 2 (denn so waren ja die DezimalbrUche x,. und y,. '. Ebenso folgte aus x,. ::; s;;;::; y,. ' sein müßte. Nach unserm Satz 12 müßte also s 2 = 2 sein, was aber nach dem Beweis S. 11, Fußnote, unmöglich ist. Es gibt also hier sicher keine (rationale) Zahl, die allen Intervallen angehörte. Was in solchem Falle nun zu tun ist, wollen wir im folgenden Paragraphen untersuchen.

Diese irrationalen Zahlen reihen sich widerspruchslos dem System der rationalen Zahlen ein und zwar lJ 3* 36 I. Kapitel. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen. derart, daß von dem System Z aller rationalen und irrationalen Zahlen zusammen die unter 4 formulierten Bedingungen erfüllt sind, daß man - kurz gesagt - mit ihnen allen formal genau so, in der Wirkung aber erfolgreicher rechnen kann, wie mit den rationalen Zahlen allein. Dieses umfassendere System ist überdies keiner mit den Bedingungen 4 verträglichen Erweiterung mehr fähig, und wesentlich das einzige System von Zeichen, das diesen Bedingungen 4 und zugleich dem V ollständigkei tspostulat genügt.

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